Clase #13

Para representa la gráfica es una función f(x,y), se requiere de un sistema coordenado (x,y,z)(R³)

Definición

• Si f es una función de dos valriables con dominio D, entonces la grafica de f es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) en R³, tal que z=f(x,y) está en D.
• La grafica de f(x,y) es una superficie en R³.

Ejemplo

Grafique la función:

f(x,y)= 6 -3x 2y

z= 6 -3x 2y

Curvas de nivel

Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=k, donde k es una constante (en el rango de f).

Ejemplo

Grafique las curvas de nivel de

f(x,y)= 6 -3x 2y

Por lo tanto las curvas de nivel son familia de rectas paralelas con pendiente negativa igual a -3/2.

Clase #12

Vectores normales y binomiales

Vector normal unitario:

Vector binormal unitario:

El triedro móvil se formaría:

Plano Osculador (PO)

Plano normal principal (PNP)

Plano rectificante (PR)

Recta tangente (RT)

Recta normal (RN)

Recta binormal (RB)

Ecuación radio de curvatura:

Funciones de varias variables

f: f: Rⁿ ® R

(x1, x2, x3, ... , xn) ® u=f(x1, x2, x3, ... , xn) 

Si n=2

f: f: R² ® R

(x,y)= z=f(x,y)

x,y: variables independientes.

z: variable dependiente.

Df={(x,y) € R² / z=f(x,y)}

Rf={z € R / z=f(x,y)}

Análisis del dominio de definición o dominio de existencia

Ejemplo:

1. Analíticamente

2. Gráficamente

3. Descriptivamente

 El dominio de la función son todos los pares ordenados (x,y) que se encuentran debajo de la recta y=-1-x, incluido el eje positivo de las "y" y parte del eje "x", no pertenece al dominio x=1.

Clase #11

Reparametrización

Toda curva alabeada C se representa por más de una función vectorial.

Ejemplo

r1(t)=(t ,t^2,t^3); 1 ≤ t ≤ 2

se puede representar por:

r2(t)=e^u,e^2u,e^3u; 0 ≤ u ≤ lu2

si t=e^u

• La longitud de arco es independiente de la reparametrización que se utilice.
• Suponga que C es una curva suave por partes dada por

r’(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k ; a ≤ t ≤ b

Donde r’(t) es continua y C es recorrida cuando t se incrementa desde “a” hasta “b”

Se define:

Siendo S(t) la longitud del arco de C entre r(a) y r(b)

Curvatura

• Una parametrizaciòn se dice suave en un intervalo I, si r’(t) es continua y r’(t) ≠ 0 en I.
• Una curva suave no tiene puntos agudo o cúspides, cuando gira el vector tangente, lo hace en forma continua.

Vector tangente unitario

El vector tangente unitario indica la dirección de la curva C.

Curvatura

La curvatura de C se define como

Pasos

Teorema

La curvatura de la curva C se calcula como:

Clase #10

Interpretación geométrica

Se puede considerar a F'(t) como el vector tangente a la curva c en el punto t.

Interpretación física

       1. F(t0) se considera el vector tangente a la curva c en to. F(to)=V(to),                vector velocidad ||F(to)|| representa la velocidad escalar

       2. El vector F’(to) cuando es diferente de cero determina la recta tangente            a la curva c

                 L{F(to) + tF(to); t € R}

                 R= Ro + ta

       3. Vector aceleración

       4. En R^3

                v(t) = ||V(t)|| =||F(t)||

           Es la rapidez de una partícula

Integración de funciones vectoriales

Propiedades

Longitud de arco y curva

En R^2

En R^3

Ecuación general de la curva

Clase #9

Operaciones con funciones vectoriales

Sean:

F; I→R^n  ^ G; I→R^n  h: J → I
donde I,J c R ^ u € R se define:

 f) (F o h)(t)=F(h(t))=(f1(h(t)),f2(h(t)), ... ,fn(h(t))) 

Ejemplo

Límites y continuidad

• Siempre que existan los límites de las funciones correspondientes.
• Los límites de las funciones vectoriales siguen las reglas y cumplen las mismas propiedades de los límites de las funciones reales escalares.

Una función R(t) es continua en a si:

• R(t) es continua en a, si solo si f(t), g(t), h(t) son continuas cuando t→a.
• Las propiedades de las operaciones con funciones reales escalares continuas se cumplen para las funciones reales vectoriales.

Derivación de funciones vectoriales

Dada la función vectorial F I→R^n, donde I c R, sea to € I, se dice que F(t) es derivable en to si existe

Si dicho límite existe, la derivada de F(t) en to se denota por:

• Para calcular la derivada de una función vectorial se debe derivar cada una de sus componentes.
• Se aplican las propiedades y reglas de derivación de las funciones reales escalares.

Información adicional:

Límites

Derivadas 1

Derivadas 2

Clase #8

Funciones vectoriales de variable real

Definición:

Se llama función vectorial de la variable real “t” a todas correspondencia de F de I c R en R^n

F: I → R^n

   t à F(t) = (f1(t), f2(t), … , fa(t))

Donde

fk (t) son funciones reales k=1,2,3,…, n

Dominio de F(t)

• Dom F(t)=Df1 ∩ Df2 …. ∩ Dfk

Rango de F(t)

• Rango F(t) =Rf1 U Rf2 … U Rfk

Ejemplo

Dom F(t) = R

Rango F(t)=R

• La gráfica de una función vectorial en R^3 es una CURVA ALAVEADA representada en el espacio.
• La gráfica de una función vectorial en R^2 es una CURVA PLANA representada en el plano XOY

Información adicional

Curva alaveada

Clase #7

En esta fecha rendimos la primera prueba.