Clase #4

Normalización de la ecuación general del plano

u= ± _______1_________
    √A² + B² + C² 

Observaciones:

• El signo del factor normalizante indica si está sobre o debajo del plano. 
• El signo del factor normalizante debe ser contrario al sigo de D en la ecuación.

Ejemplo

3x+2y+z-5=0

u=1/√14 

1/√14(3x + 2y +z -5)=0

3/√14 x=cos α
2/√14 y=cos β
z/√14 =cos ɣ
-5/√14 = ρ

Desviación de un punto respecto de un plano

• La desviación es (+) cuando el punto M y el origen de coordenadas están en lados opuestos del plano.
• La desviación es (-) cuando el punto M y el origen de coordenadas están del mismo lado del plano.

Distancia de un punto al plano

d=    __x1A + y1B + z1C +D__
       √A² + B² + C² 

Plano determinado por 3 puntos

(r→−r1−→)∙[(r2−→−r1−→)×(r3−→−r1−→)]=0

Observaciones

- Si el producto mixto es igual a cero entonces los 3 vectores 
  involucrados son coplanares.
- El producto mixto geométricamente representa el volumen del 
  paralelepípedo cuyas aristas son los 3 vectores involucrados.

V=A x B . C


Referencias:
Apuntes del cuaderno.

Información adicional
Ecuaciones de un plano

Clase #3

El plano en el espacio

• Ecuaciones del plano en el espacio

** Ecuación del plano un punto y el vector normal al plano

• Ecuación vectorial del plano

         r-ro*n=0

• Ecuación general del plano

         Ax+By+Cz+D=0

CASOS PARTICULARES

*Ecuaciones incompletas del plano Ax+By+Cz+D=0  

  Si c=0-->Ax+By+D=0 -> Ecua.del plano con generatriz paralela al eje OZ

Si B=0-->Ax+Cz+D=0 -> Ecua.del plano con generatriz paralela al eje OY

Si C=0-->By+Cz+D=0 -> Ecua.del plano con generatriz paralela al eje OX

Si A=0 y B=0-->Cx+D=0 -> Ecua.del plano paralelo al eje XOY

Si A=0 y C=0-->By+D=0 ->  Ecua.del plano paralelo al eje XOZ

Si B=0 y C=0-->Ax+D=0 -> Ecua.del plano paralelo al eje YOZ

Si D=0-->Ax+By+Cz=0 ->Ecua.del plano que pasa por c(0,0,0) 

• Ecuación segmentaria del plano

x/a + y/b + z/c=1 

 

• Ecuación normal del plano

xcos α + ycos β + zcos ɣ - ρ=0

Enlaces adicionales:

Vectores, rectas y planos

Clase #2

• Sistema de funciones implícitas

F(x,y)=0

G(x,y)=0

Cada una de las funciones implícitas representa una curva, por lo tanto la solución sera uno o mas puntos. 

• En R^3

F(x,y,z)=0 -> función implícita de 3 variables

Casos especiales:

F(x,y)=0 -> representa una superficie en R^3 con generatriz paralela a los ejes OZ.

G(y,z)=0 -> representa una superficie en R^3 con generatriz paralela a los ejes OX.

H(x,z)=0-> representa una superficie en R^3 con generatriz paralela a los ejes OY.

Si F(x,y,z)=0

Las funciones implícitas representan una SUPERFICIE cuya generatriz no es paralela a ningún eje coordenado.
z=f1(x,y) ; z=f2(x,y)
y=g1(x,z) ; y=g2(x,z)
x=h1(y,z) ; x=h2(y,z)

Por ejemplo
x^2+y^2+z^2=25

 Representa una superficie esférica.

• Sistema de funciones implícitas

F(x,y,z)=0

G(x,y,z)=0

Geométricamente la solución del sistema de funciones implícitas representa curvas en R^3

• La recta

Ecuaciones de la recta en el espacio

Dado un punto y el vector director de la recta.
* Ecuación vectorial de la recta
  r=ta+ro
* Ecuaciones paramétricas de la recta
  x=xo+tl
  y=yo+tm
  z=zo+tn
* Ecuaciones cartesianas de la recta
  x-xo/l = y-yo/m = z-zo/n

Dado dos puntos
* Ecuación vectorial de la recta
  r=r1+t(r2-r1)
* Ecuaciones paramétricas de la recta
  x=x1+t(x2-xl)
  y=y1+t(y2-y1)
  z=z1+t(z2-z1)
* Ecuaciones cartesianas de la recta
  x-x1/x1-x1 = y-y1/y2-y1 = z-z1/z2-z1

Enlaces adicionales:
Ecuaciones de la recta 1
Ecuaciones de la recta 2

Clase #1

• Indicaciones generales.

Entre lo indicado por la Ingeniera está:

1. Crear una cuenta en Gmail.
2. Enviar un correo al email proporcionado por la Ingeniera.
3. Al recibir el enlace al grupo, familiarizarse con el mismo.
4. Luego debemos crear un blog personal (portafolio estudiantil) donde subiremos los resúmenes de las clases y acotaciones a los temas impartidos.

• Evaluación:

La calificación está dividida de la siguiente manera:

Deberes,actividades,portafolio	20%
Prueba 1	20%
Prueba 2	20%
Examen	40%

• Inicio de la materia con el tema Geometría Analítica en el espacio.

Vimos una breve introducción de conceptos plano y espacio, además recordamos las funciones implícitas, mismas que reciben ese nombre porque no se encuentra especificada la relación entre ellas.

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