Clase #31

Teorema fundamental de integrales de línea

Definición (de diferencia exacta)

P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

Es una diferencial exacta si:

Si P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz es una diferencial exacta existe una funcion f(x,y,z) tal que:

df(x,y,z) = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

Teorema fundamental

supongamos P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz es una diferencial exacta y consideremos:

C : r : [a,b] → R3 definido por

r(t)=(x(t),y(t),z(t)) con a ≤ t ≤ b, entonces

Otras formas de enunciar el teorema

• Sea F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k un campo vectorial conservativo definido en 1 región conexa D del espacio entonces para todos los puntos A y B de D

• Sea C una curva en el espacio parametrizado por la función vectorial r(t)=(x(t),y(t),z(t)) para a ≤ t ≤ b. suponga que f(x,y,z) es una función diferenciable cuyo gradiente:

La integral de línea de 1 campo vectorial derivado de un gradiente depende de f(x,y,z), de su punto inicial y punto final y no de la trayectoria.

Información adicional

Ejemplo de aplicación del teorema fundamental:

Ejercicios sobre el teorema fundamental