Clase #35

En esta fecha realizamos una revisión de la segunda prueba del segundo bimestre.

Clase #34

En esta fecha rendimos la segunda prueba del segundo bimestre.

Clase #33

Suponga que F(x,y,z) es un campo conservativo F=∇f.

La energía potencial de un objeto en el punto (x,y,z) se define como:

P(x,y,z) = - f(x,y,z) de modo que F= - ∇f entonces:

Principio de conservación de la energía

Teorema de Green

• Sea C una curva simple y cerrada positiva (sentido antihorario)
• Sea D la región plana limitada por C
• Si C está definido por la función vectorial r(t), a ≤ t ≤ b
• Si P y Q tiene derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D entonces:

Áreas de regiones planas

Información adicional:

Ejercicios del Teorema de Green:

Ejercicios Teorema de Green

Clase #32

Conservación de la energía

Si F es un campo de fuerzas continuo que hace que se desplace un objeto a lo  largo de una trayectoria C definido por r(t), a ≤ t ≤ b, donde r(a)=A punto inicial y r(b)=B punto final de C.

Trabajo = Energía cinética en B  - Energía cinética en A

Información adicional

Ejercicios de trabajo y energia

Clase #31

Teorema fundamental de integrales de línea

Definición (de diferencia exacta)

P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

Es una diferencial exacta si:

Si P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz es una diferencial exacta existe una funcion f(x,y,z) tal que:

df(x,y,z) = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

Teorema fundamental

supongamos P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz es una diferencial exacta y consideremos:

C : r : [a,b] → R3 definido por

r(t)=(x(t),y(t),z(t)) con a ≤ t ≤ b, entonces

Otras formas de enunciar el teorema

• Sea F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k un campo vectorial conservativo definido en 1 región conexa D del espacio entonces para todos los puntos A y B de D

• Sea C una curva en el espacio parametrizado por la función vectorial r(t)=(x(t),y(t),z(t)) para a ≤ t ≤ b. suponga que f(x,y,z) es una función diferenciable cuyo gradiente:

La integral de línea de 1 campo vectorial derivado de un gradiente depende de f(x,y,z), de su punto inicial y punto final y no de la trayectoria.

Información adicional

Ejemplo de aplicación del teorema fundamental:

Ejercicios sobre el teorema fundamental

Clase #31

Divergencia y rotacional de campos vectoriales

Divergencia (div F)

Sea F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) la divergencia de F, denotada por dviF es el campo escalar definido por el producto escalar:

divF=∇F

Rotacional (rotF)

El rotacional de un campo vectorial F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) denotado por rotF es el campo vectorial definido por:

Observación

Si F es un campo vectorial definido en todo punto (x,y,z) del espacio cuyas componentes tienen derivadas parciales y continuas y rotF=0, entonces F es un CAMPO VECTORAL CONSERVATIVO Y F=∇f

Introducción a la integral de línea

Integral de línea respecto a la longitud del arco

r(t)=(x(t),y(t)); a ≤ t ≤ b ΔS: incremento de longitud del arco

Masa de un alambre sobre el plano

Si C es una curva en el espacio tridimensional

r(t)=(x(t),y(t),z(t)); a ≤ t ≤ b

Masa de un alambre en el espacio

Si C no es una curva suave

C=C1 U C2

Integrales de línea de campos vectoriales

Trabajo

Trabajo = Fuerza por distancia

• Si el objeto no se mueve en línea recta y el ángulo entre la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento son constantes.
• Si el objeto es movido a lo largo de la curva C en el plano XOY y además la fuerza está dada por el campo vectorial F(x,y)= (P(x,y), Q(x,y))

Información adicional

• Divergencia y rotacional:

• Integrales de línea 
• Ejemplo de uso de integrales de línea y trabajo:

Clase #30

Campos vectoriales

Campo vectorial en R2

Definición

Sea D un conjunto de R2, una región plana. Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna a cada punto (x,y) en D un vector bidimensional F(x,y):

F(x,y)=P(x,y)i + Q(x,y)j = (P(x,y), Q(x,y) )= F= Pi + Qj

Donde:

P(x,y), Q(x,y) son funciones escalares de 2 variables y a veces se las llama CAMPOS ESCALARES

En R3

Definición

Sea E un subconjunto de R3 un campo vectorial sobre R3 una función F que asigna a cada punto (x,y,z) en e un vector tridimensional F(x,y,z):

F(x,y)=P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k= (P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)  )= F= Pi + Qj + Rk

Para definir la continuidad de un campo vectorial, se debe analizar la continuidad de cada una de sus componentes P,Q y R.

Dos campos de mucha importancia

1. Campo gravitacional



Donde X(x,y,z) wa el vector posición del objeto de masa “m”
En física se suele utilizar r en lugar de X para el vector posición.


2. Campo eléctrico

Campos de gradiente

Si f es una función escalar de dos varibales su gradiente ∇f se define:

∇f(x,y)=f_x(x,y)i + f_y(x,y)j

Por lo tanto el gradiente de f (x,y) es realmente un campo vectorial gradiente

Si f es una función escalar de 3 variables:

∇f(x,y,z)=f_x(x,y,z)i + f_y(x,y,z)j + f_z(x,y,z)k

Información adicional

Campos escalares y campos vectoriales