Supongamos que f(x,y) tiene derivadas parciales continuas
sobre un rectángulo en el plano xy que contiene a (a,b) en su interior. Entonces
el plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P(a,b,f(a,b)) es el
plano que pasa por P y que contiene a las rectas tangentes a las 2 curvas
z=f(x,b) ; y=b (curva x)
z=f(a,y) ; x=a (curva y)
La ecuación del plano tangente a z= f(x,y) en el punto
P(a,b,f(a,b)) es
Derivada direccional
Por otro lado ahora se quiere evaluar que
pasa con f(x,y) n la dirección del vector unitario arbitrario u=(a,b)
La derivada direccional de f en (xo,yo)
en la dirección del vector unitario es
si existe el limite
Gradiente
Si f es una funcion de dos variables “x”
y “y”, entonces el gradiente de f es la funcion vectorial ∇f
definida por
Teorema
Si f es una funcion diferenciable de x y
y entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector
unitario u=(a,b) y uf(x,y)=(fx(x,y)+fy(x,y))
- Si Duf(x,y) es positivo entonces la funcion aumenta cuando se mueve a lo largo del vector unitario
- Si Duf(x,y) es negativo entonces la funcion disminuye cuando se mueve a lo largo del vector unitario.
Dirección de máximo crecimiento
Nota: El vector gradiente siempre es proporcional al plano tangente en un punto.
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