Clase #23

Máximos y mínimos (o puntos extremos)

f: R2 → R

   (x,y)  → z=f(x,y)

Puede presentar:

1. Máximos o mínimos relativos (o locales)
2. Máximos o mínimos absolutos
3. Máximos o mínimos condicionados

Máximos o mínimos relativos (o locales)

Sea f: R2 → R una función de 2 variables esta tendrá

1. Máximo relativo en (a,b) si f(x,y) ≤ f(a,b) para todo (x,y) elemento de algún disco de centro (a,b).
2. Mínimo relativo en (a,b) si f(x,y) ≥ f(a,b) cuando (x,y) elemento está cerca de  (a,b).

Existen funciones que presentan un máximo y un mínimo a la vez en (a,b), entonces el punto (a,b) se denomina PUNTO DE SILLA.

Teorema

Si f tiene un máximo o mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen allí entonces:

f_x(a,b) = 0 ^  fy(a,b) = 0

El punto (a,b) se denomina PUNTO CRÍTICO (O ESTACIONARIO).

Prueba de la segunda derivada

Suponga que la segunda derivada parcial de f es continua en (a,b) y suponga que f_x(a,b) = 0 ^  fy(a,b) = 0 es decir (a,b) es un apunto critico de f entonces:

• Si D > 0 y f_xx(a,b) > 0 →  existe mR en (a,b)
• Si D > 0 y f_xx(a,b) < 0 →  existe  MR en (a,b)
• Si D < 0 →  existe  punto de silla en (a,b)
• Si D = 0 →  el criterio no define

Información adicional

Ejercicios sobre máximos y mínimos