Clase #24

Máximos y mínimos absolutos

Toda función diferenciable en una región acotada y cerrada alcanza su valor máximo (mínimo) en un punto estacionario o en un punto frontera de la región.

Máximos y mínimos condicionales

Multiplicador de Lagrange

• Se llama punto extremo condicionado de una función f(x,y) al punto critico que satisface tal definición, pero que adicionalmente debe cumplir con la condición de que sus variables independientes estén relacionadas entre sí, mediante una ecuación de enlace g(x,y)=0.
• Para hallar un extremo condicionado de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)=0, se forma la llamada función de Langrange:

F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

Dónde:

l: multiplicador de Lagrange, parámetro constante

Si se tiene un función de 3 variables:

u = f(x,y,z)

g1(x,y,z) = 0 ^ g2(x,y,z) = 0

entonces

F(x,y,z,λ1,λ2)= f(x,y,z) + λ1 g1(x,y,z) + λ2 g2(x,y,z)

Método de multplicador de Lagrange

Para determinar los valores externos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z)=0 suponiendo que estos valores existen y que ∇g≠0 se encuentra en la superficie g(x,y,z)=0

a) Determine todos los valores de x,y,z y λ tales que:

∇ f(x,y,z)= λ∇ g(x,y,z)

b) Evalúe f en todos los puntos (x,y,z) encontrados, el mayot de todos es el máximo de f y el menor el mínimo de f.

Información adicional

Ejercicios sobre máximos y mínimos absolutos

Ejercicios sobre máximos y mínimos condicionados