Clase #35

En esta fecha realizamos una revisión de la segunda prueba del segundo bimestre.

Clase #34

En esta fecha rendimos la segunda prueba del segundo bimestre.

Clase #33

Suponga que F(x,y,z) es un campo conservativo F=∇f.

La energía potencial de un objeto en el punto (x,y,z) se define como:

P(x,y,z) = - f(x,y,z) de modo que F= - ∇f entonces:

Principio de conservación de la energía

Teorema de Green

• Sea C una curva simple y cerrada positiva (sentido antihorario)
• Sea D la región plana limitada por C
• Si C está definido por la función vectorial r(t), a ≤ t ≤ b
• Si P y Q tiene derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D entonces:

Áreas de regiones planas

Información adicional:

Ejercicios del Teorema de Green:

Ejercicios Teorema de Green

Clase #32

Conservación de la energía

Si F es un campo de fuerzas continuo que hace que se desplace un objeto a lo  largo de una trayectoria C definido por r(t), a ≤ t ≤ b, donde r(a)=A punto inicial y r(b)=B punto final de C.

Trabajo = Energía cinética en B  - Energía cinética en A

Información adicional

Ejercicios de trabajo y energia

Clase #31

Teorema fundamental de integrales de línea

Definición (de diferencia exacta)

P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

Es una diferencial exacta si:

Si P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz es una diferencial exacta existe una funcion f(x,y,z) tal que:

df(x,y,z) = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

Teorema fundamental

supongamos P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz es una diferencial exacta y consideremos:

C : r : [a,b] → R3 definido por

r(t)=(x(t),y(t),z(t)) con a ≤ t ≤ b, entonces

Otras formas de enunciar el teorema

• Sea F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k un campo vectorial conservativo definido en 1 región conexa D del espacio entonces para todos los puntos A y B de D

• Sea C una curva en el espacio parametrizado por la función vectorial r(t)=(x(t),y(t),z(t)) para a ≤ t ≤ b. suponga que f(x,y,z) es una función diferenciable cuyo gradiente:

La integral de línea de 1 campo vectorial derivado de un gradiente depende de f(x,y,z), de su punto inicial y punto final y no de la trayectoria.

Información adicional

Ejemplo de aplicación del teorema fundamental:

Ejercicios sobre el teorema fundamental

Clase #31

Divergencia y rotacional de campos vectoriales

Divergencia (div F)

Sea F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) la divergencia de F, denotada por dviF es el campo escalar definido por el producto escalar:

divF=∇F

Rotacional (rotF)

El rotacional de un campo vectorial F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) denotado por rotF es el campo vectorial definido por:

Observación

Si F es un campo vectorial definido en todo punto (x,y,z) del espacio cuyas componentes tienen derivadas parciales y continuas y rotF=0, entonces F es un CAMPO VECTORAL CONSERVATIVO Y F=∇f

Introducción a la integral de línea

Integral de línea respecto a la longitud del arco

r(t)=(x(t),y(t)); a ≤ t ≤ b ΔS: incremento de longitud del arco

Masa de un alambre sobre el plano

Si C es una curva en el espacio tridimensional

r(t)=(x(t),y(t),z(t)); a ≤ t ≤ b

Masa de un alambre en el espacio

Si C no es una curva suave

C=C1 U C2

Integrales de línea de campos vectoriales

Trabajo

Trabajo = Fuerza por distancia

• Si el objeto no se mueve en línea recta y el ángulo entre la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento son constantes.
• Si el objeto es movido a lo largo de la curva C en el plano XOY y además la fuerza está dada por el campo vectorial F(x,y)= (P(x,y), Q(x,y))

Información adicional

• Divergencia y rotacional:

• Integrales de línea 
• Ejemplo de uso de integrales de línea y trabajo:

Clase #30

Campos vectoriales

Campo vectorial en R2

Definición

Sea D un conjunto de R2, una región plana. Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna a cada punto (x,y) en D un vector bidimensional F(x,y):

F(x,y)=P(x,y)i + Q(x,y)j = (P(x,y), Q(x,y) )= F= Pi + Qj

Donde:

P(x,y), Q(x,y) son funciones escalares de 2 variables y a veces se las llama CAMPOS ESCALARES

En R3

Definición

Sea E un subconjunto de R3 un campo vectorial sobre R3 una función F que asigna a cada punto (x,y,z) en e un vector tridimensional F(x,y,z):

F(x,y)=P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k= (P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)  )= F= Pi + Qj + Rk

Para definir la continuidad de un campo vectorial, se debe analizar la continuidad de cada una de sus componentes P,Q y R.

Dos campos de mucha importancia

1. Campo gravitacional



Donde X(x,y,z) wa el vector posición del objeto de masa “m”
En física se suele utilizar r en lugar de X para el vector posición.


2. Campo eléctrico

Campos de gradiente

Si f es una función escalar de dos varibales su gradiente ∇f se define:

∇f(x,y)=f_x(x,y)i + f_y(x,y)j

Por lo tanto el gradiente de f (x,y) es realmente un campo vectorial gradiente

Si f es una función escalar de 3 variables:

∇f(x,y,z)=f_x(x,y,z)i + f_y(x,y,z)j + f_z(x,y,z)k

Información adicional

Campos escalares y campos vectoriales

Clase #29

Distribución de masa

1. Distribución lineal de masa



2. Distribución superficial de masa



3. Distribución volumétrica de masa

Momentos de inercia

1. Masas puntuales


Los momentos de inercia de las “n” masas respecto a los ejes coordenados:





2. Masa continúa

Sea L una lámina los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados son:

Información adicional:

Clase #28

En esta fecha rendimos la primera prueba del segundo bimeste.

Clase #27

En esta fecha se realizaron varios ejercicios sobre transformaciones de integrales.

Cálculo de la masa

Distribución de masa puntual

Generalizando:

Distribución de masa continua

El centro de masa es aquel punto donde se considera que está concentrada toda la masa de un cuerpo

C(xc,yc,zc)

Rc=(xc,yc,zc) 

Clase #26

Propiedades de la integral doble

Transformaciones de integrales múltiples

Donde:

|J|: Determinante Jacobiano de la transformación de las variables (x,y) a (u,v)

Coordenadas polares:

Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

Clase #25

Integrales múltiples

f: R2 → R

   (x,y)  → z=f(x,y)

Definición

• Se dice que f(x,y) es integrable si el limite existe
• Las funciones continuas son integrales.
• Si f(x,y) ≥ 0 entonces el volumen V del solido que yace arriba de la región R debajo de la superficie z=f(x,y) es:

• La región R, debe ser parte o todo el del dominio de definición de f(x,y)

Generalizando

Tipos de regiones R

1. Regiones rectangulares

2. Regiones entre curvas

3. Regiones entre curvas

Clase #24

Máximos y mínimos absolutos

Toda función diferenciable en una región acotada y cerrada alcanza su valor máximo (mínimo) en un punto estacionario o en un punto frontera de la región.

Máximos y mínimos condicionales

Multiplicador de Lagrange

• Se llama punto extremo condicionado de una función f(x,y) al punto critico que satisface tal definición, pero que adicionalmente debe cumplir con la condición de que sus variables independientes estén relacionadas entre sí, mediante una ecuación de enlace g(x,y)=0.
• Para hallar un extremo condicionado de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)=0, se forma la llamada función de Langrange:

F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

Dónde:

l: multiplicador de Lagrange, parámetro constante

Si se tiene un función de 3 variables:

u = f(x,y,z)

g1(x,y,z) = 0 ^ g2(x,y,z) = 0

entonces

F(x,y,z,λ1,λ2)= f(x,y,z) + λ1 g1(x,y,z) + λ2 g2(x,y,z)

Método de multplicador de Lagrange

Para determinar los valores externos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z)=0 suponiendo que estos valores existen y que ∇g≠0 se encuentra en la superficie g(x,y,z)=0

a) Determine todos los valores de x,y,z y λ tales que:

∇ f(x,y,z)= λ∇ g(x,y,z)

b) Evalúe f en todos los puntos (x,y,z) encontrados, el mayot de todos es el máximo de f y el menor el mínimo de f.

Información adicional

Ejercicios sobre máximos y mínimos absolutos

Ejercicios sobre máximos y mínimos condicionados

Clase #23

Máximos y mínimos (o puntos extremos)

f: R2 → R

   (x,y)  → z=f(x,y)

Puede presentar:

1. Máximos o mínimos relativos (o locales)
2. Máximos o mínimos absolutos
3. Máximos o mínimos condicionados

Máximos o mínimos relativos (o locales)

Sea f: R2 → R una función de 2 variables esta tendrá

1. Máximo relativo en (a,b) si f(x,y) ≤ f(a,b) para todo (x,y) elemento de algún disco de centro (a,b).
2. Mínimo relativo en (a,b) si f(x,y) ≥ f(a,b) cuando (x,y) elemento está cerca de  (a,b).

Existen funciones que presentan un máximo y un mínimo a la vez en (a,b), entonces el punto (a,b) se denomina PUNTO DE SILLA.

Teorema

Si f tiene un máximo o mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen allí entonces:

f_x(a,b) = 0 ^  fy(a,b) = 0

El punto (a,b) se denomina PUNTO CRÍTICO (O ESTACIONARIO).

Prueba de la segunda derivada

Suponga que la segunda derivada parcial de f es continua en (a,b) y suponga que f_x(a,b) = 0 ^  fy(a,b) = 0 es decir (a,b) es un apunto critico de f entonces:

• Si D > 0 y f_xx(a,b) > 0 →  existe mR en (a,b)
• Si D > 0 y f_xx(a,b) < 0 →  existe  MR en (a,b)
• Si D < 0 →  existe  punto de silla en (a,b)
• Si D = 0 →  el criterio no define

Información adicional

Ejercicios sobre máximos y mínimos